2009年07月23日

チェビシェフの多項式

なんか素晴らしいのに出会ってしまいました。これはすごい。
その名も「チェビシェフの多項式」!長くなるんで追記で。

大学入試で結構出題されてるみたいですね。最近では地方国立でも出てるらしいです。

まずこれを見てください。

cos1θ=cosθ
cos2θ=2(cosθ)^2-1
cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ
・・・

なんだただの倍角の公式か、ってそんなわけないです。
いま、自然数nに対し、

cosnθ=f(cosθ)

となる関数f(x)を考えます。これです。

普通はcosnθ=Tn(cosθ)って表すんですけど。

たとえば上でいうと

T1(x)=x
T2(x)=2x^2-1
T3(x)=4x^3-3x
・・・

ですね。
ここで少し実践的な(?)問題をやってみましょう。簡単です。
g(cosθ)=cos4θとなる関数g(x)を求めましょう。

cos4θ
=cos2・2θ
=2(cos2θ)^2-1
=2{2(cosθ)^2-1}^2-1
=8(cosθ)^4-8(cosθ)^2+1
∴g(x)=8x^4-8x^2+1


いま思ったんですが正弦よりも余弦の方が使用頻度が高い上に扱いやすいのは何ででしょうね。コサイン万歳。

補足。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5
↑のサイトヤバいです。倍角の公式が20倍まである。
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posted by じょむ@カビプリンP at 22:01| Comment(0) | TrackBack(0) | 数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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